Question

设函数f(x)=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}.

(1)求数列{xn}的通项公式.

(2)设{xn}的前n项和为Sn,求sinSn.

 

Answer 1

(1) xn=2nπ-(n∈N*) (2) sinSn=

【解析】【思路点拨】(1)根据导数,xn的左侧导函数小于0,xn的右侧导函数大于0,求出极小值点.(2)由(1)求出{xn}的前n项和为Sn,再代入sinSn求解.

【解析】
(1)f(x)=+sinx,令f'(x)=+cosx=0,得x=2kπ±(k∈Z),

f'(x)>0⇒2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),

f'(x)<0⇒2kπ+<x<2kπ+(k∈Z),

当x=2kπ-(k∈Z)时,f(x)取极小值,

xn=2nπ-(n∈N*).

(2)由(1)得:xn=2nπ-,

Sn=x1+x2+x3+…+xn

=2π(1+2+3+…+n)-=n(n+1)π-.

当n=3k(k∈N*)时,sinSn=sin(-2kπ)=0,

当n=3k-1(k∈N*)时,sinSn=sin=,

当n=3k-2(k∈N*)时,sinSn=sin=-.

所以sinSn=