Question

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：
①f（x）为奇函数          
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数；     
④f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称；
其中正确的命题为（　　）

A．①②④

B．①③④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：将函数f（x）=cosxsinx进行化简得到f（x）=

1

2

sin2x，然后利用三角函数的图象和性质分别判断．

解答：解：因为f（x）=cosxsinx）=

1

2

sin2x．
所以f（x）为奇函数，即①正确．
函数的周期T=

2π

2

=π，所以②错误．
当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，2x∈[-

π

2

，

π

2

]，此时函数f（x）单调递增，所以③正确．
当x=

3π

4

时，f(

3π

4

)=

1

2

sin(2×

3π

4

)=

1

2

sin

3π

2

=-

1

2

，为最小值，所以f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称，
即④正确．
故选B．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的奇偶性，单调性，周期性以及对称性．