Question

已知函数f（x）=log_a（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（3）当0＜a＜1时，求使f（x）＞0成立时x的取值范围．

Answer 1

解：（1）由得  （2+x）（2-x）＞0，则  （x+2）（x-2）＜0，
解得-2＜x＜2．
即定义域为（-2，2）．
（2）函数是奇函数．
证明如下：任意取x∈（-2，2），
则 ，，
又 =-f（x），
因此函数是奇函数．
（3）因为，且  0＜a＜1，所以，，
由，解得-2＜x＜2；由，解得 x＜0或x＞2．
综合可得-2＜x＜0．
因此，当0＜a＜1时，求使f（x）＞0成立时x的取值范围为（-2，0）．
分析：（1）由得 （x+2）（x-2）＜0，解得x的范围，即可求得定义域．
（2）函数是奇函数，证明如下：任意取x∈（-2，2），根据f（-x）=-f（x），可得函数为奇函数．
（3）因为，且  0＜a＜1，所以，，由此求得x的范围．
点评：本题主要求函数的定义域、函数的奇偶性的判断和证明方法，解对数不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．