Question

【题目】

有一个侧面是正三角形的四棱锥如图（1），它的三视图如图（2）．

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求平面与正三角形侧面所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由三视图可知，四棱锥中平面，四边形为直角梯形，在底面证出，又即得证.

（Ⅱ）由三视图可知，四棱锥的正三角形侧面为面建立空间直角坐标系，找出两个面的法向量，找向量的夹角的余弦值即得解

试题解析：

（Ⅰ）由三视图可知，四棱锥中平面，

同时， ，四边形为直角梯形．

过点作于，则, ．

∴, ，

∴，故．

∵平面, 平面,∴

∵，∴平面．

（Ⅱ）由三视图可知，四棱锥的正三角形侧面为面．

为正三角形，∴．在中， ．

以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，

有．

由（Ⅰ）知是平面的一条法向量．

向量，

设平面的法向量为，由，得的一组解．

设平面与正三角形侧面所成二面角为，则