题目内容

如图，在多面体ABC-DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC=EF=1，AB=AD=DE=DG=2。
（1）求证：平面BEF⊥平面DEFG；
（2）求证：BF∥平面ACGD；
（3）求三棱锥A-BCF的体积。
解：（1）∵平面ABC∥平面DEFC，平面ABC∩平面ADEB=AB
平面DEFG∩平面ADEB=DE
∴AB∥DE
∵AB=DE
∴四边形ADEB为平行四边形，BE∥AD
∵AD⊥平面DEFC，
∴BE⊥平面DEFG，
∵BE平面BEF，
∴平面BEF⊥平面DEFG。
（2）取DG的中点为M，连接AM，FM，
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，
∴DEFM
又∵ABDE，
∴ABFM
∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM，
又BF平面ACGD，
故BF∥平面ACGD。
（3）∵平面ABC∥平面DEFC，
则F到面ABC的距离为AD

。
练习册系列答案
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如图，在多面体ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1
∥
.
BB1，AB=AC=AA1=
2
2
BC，B1C1
∥
.
1
2
BC．
（1）求证：A1B1⊥平面AA1C；
（2）求证：AB1∥平面A1C1C；
（3）求二面角C1-A1C-A的余弦值．
如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB=AC，BC=
2
AB，B1C1
∥
.
.
1
2
BC，二面角A1-AB-C是直二面角．
（Ⅰ）求证：AB1∥平面 A1C1C；
（Ⅱ）求BC与平面A1C1C所成角的正弦值．
（2012•青岛二模）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1∥BC，B1C1=
12
BC．
（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求证：AB1∥面A1C1C．
（2012•合肥一模）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1⊥平面ABC，AA1∥=BB1，AB=AC=AA1=
2
2
BC，B1C1∥=
1
2
BC．
（1）求证：A1B1⊥平面AA1C；
（2）若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A1C1C；
（3）若BC=2，求几何体ABC-A1B1C1的体积．
（2012•郑州二模）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB=AC，BC=
2
AB，B1C1
∥
.
1
2
BC，二面角A1-AB-C是直二面角．
（I）求证：A1B1⊥平面AA1C； 
（II）求证：AB1∥平面 A1C1C；
（II）求BC与平面A1C1C所成角的正弦值．

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