题目内容

在△ABC中，若sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB．
（1）求∠C的度数；
（2）在△ABC中，若角C所对的边c=1，试求内切圆半径r的取值范围．

解：（1）∵sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，
∴2sinCcos $\text{[math]}$ •cos $\text{[math]}$ =2sin $\text{[math]}$ •cos $\text{[math]}$ ．
在△ABC中，- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
∴cos $\text{[math]}$ ≠0．∴2sin $\text{[math]}$ cos² $\text{[math]}$ =sin $\text{[math]}$ ，
cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵0＜C＜π，∴∠C= $\text{[math]}$ ．
（2）设Rt△ABC中，角A和角B的对边分别是a、b，则有a=sinA，b=cosA．
∴△ABC的内切圆半径
r= $\text{[math]}$ （a+b-c）= $\text{[math]}$ （sinA+cosA-1）
= $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
∴△ABC内切圆半径r的取值范围是0＜r≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用和差化积和积化和差公式化简sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，解方程可求∠C的度数；
（2）由（1）知△ABC是直角三角形，可以表示出a、b，求内切圆半径r的表达式，然后求其取值范围．
点评：本题考查和差化积和积化和差公式，三角函数的化简求值，考查学生计算能力，是中档题．