Question

设F₁，F₂分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F₁斜率为1的直线?与E相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程

Answer 1

分析：（I）根据椭圆的饿定义可 值|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a，进而根据|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂进而根据

4

3

a=

4ab2

a2+b2

，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．
（II）设AB的中点为N（x₀，y₀），根据（1）则可分别表示出x₀和y₀，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据

y0+1

x0

=-1求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．

解答：解：（I）由椭圆定义知|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
得|AB|=

4

3

al的方程为y=x+c，其中c=

a2-b2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B两点坐标满足方程组

y=x+c x2 a2 + y2 b2 =1

化简的（a²+b²）x²+2a²cx+a²（c²-b²）=0
则x1+x2=

-2a2c

a2+b2

，x1x2=

a2(c2-b2)

a2+b2

因为直线AB斜率为1，得

4

3

a=

4ab2

a2+b2

，故a²=2b²
所以E的离心率e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

（II）设AB的中点为N（x₀，y₀），由（I）知x0=

x1+x2

2

=

-a2c

a2+b2

=-

2

3

c，y0=x0+c=

c

3

．
由|PA|=|PB|，得k_PN=-1，
即

y0+1

x0

=-1
得c=3，从而a=3

2

，b=3
故椭圆E的方程为

x2

18

+

y2

9

=1．

点评：本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力