Question

(理)如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,侧面A₁ACC₁⊥底面ABC,∠A₁AC=60°.

(1)求侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的大小;

(2)已知点D满足BD=BA+BC,在直线AA₁上是否存在点P,使DP∥平面AB₁C?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

(文)如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,点A₁在底面ABC内的射影O恰为线段AC的中点.

(1)求侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值;

(2)已知点D为点B关于点O的对称点,在直线AA₁上是否存在点P,使DP∥平面AB₁C?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

Answer 1

答案：(理)解：(1)∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC,作A₁O⊥AC于点O,

∴A₁O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A₁AC=60°,且各棱长都相等,

∴AO=1,OA₁=OB=,BO⊥AC.

故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz,则A(0,-1,0),B(,0,0),A₁(0,0,),C(0,1,0),=(0,1,).由=,可得B₁(,1,).

∴=(,2,),=(0,2,0).设平面AB₁C的法向量为n=(x,y,1).

则解得n=(-1,0,1).

由cos〈,n〉=,

而侧棱AA₁与平面AB₁C所成角,即是向量与平面AB₁C的法向量所成锐角的余角,

∴侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的大小为arcsin.

(2)∵,而BA=(,-1,0),=(,1,0),∴=(,0,0).

又∵B(,0,0),∴点D的坐标为D(,0,0).

假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,z).∴=(,y,z).

∵DP∥平面AB₁C,n=(-1,0,1)为平面AB₁C的法向量,∴由·n=+0+z=0,得z=.

又∵点P在直线AA₁上,=(0,y+1,),=(0,1,),∴由,得∴y=0.又DP平面AB₁C,故存在点P,使DP∥平面AB₁C,其坐标为(0,0,),即恰好为A₁点.

(文)解：(1)连结A₁O,则A₁O⊥平面ABC.

∵三棱柱各棱长都相等,∴AO=1,OA₁=OB=,BO⊥AC.

故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz,则A(0,-1,0),B(,0,0),A₁(0,0,),C(0,1,0),=(0,1,).由,可得B₁(,1,).

∴=(,2,),=(0,2,0).设平面AB₁C的法向量为n=(x,y,1).则解得n=(-1,0,1).

∴cos〈,n〉=.

而侧棱AA₁与平面AB₁C所成角,即是向量与平面AB₁C的法向量所成锐角的余角,

∴侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为.

(2)∵BO⊥AC,点D为点B关于点O的对称点,∴点D的坐标为D(,0,0).

假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,z).∴=(,y,z).

∵DP∥平面AB₁C,n=(-1,0,1)为平面AB₁C的法向量,∴由·n=-+0+z=0,得z=.

又∵点P在直线AA₁上,=(0,y+1,),=(0,1,),

∴由,得∴y=0.又DP平面AB₁C,

故存在点P,使DP∥平面AB₁C,其坐标为(0,0,),即恰好为A₁点.