Question

已知定义在R上的函数f(x)=ax³-2bx²+cx+4d(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈［-1,1］时，图象是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；

(3)若x₁,x₂∈［-1,1］时，求证：|f(x₁)-f(x₂)|≤.

Answer 1

解析：(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)=0,即4d=0,∴d=0.

又f(-1)=-f(1),即-a-2b-c=-a+2b-c,∴b=0，

∴f(x)=ax³+cx,f′(x)=3ax²+c.

∵x=1时，f(x)取极小值-,

∴3a+c=0且a+c=-.

解得a=,c=-.

∴f(x)= x³-x.

 (2)当x∈［-1，1］时，图象上存在这样的两点使得结论成立.

假设图象上存在两点A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f′(x)=(x²-1)，

知两点处的切线斜率分别为k₁=(x₁²-1),k₂=(x₂²-1),

且（x₁²-1）(x₂²-1)=1.(*)

∵x₁,x₂∈［-1，1］，∴x₁²-1≤0,x₂²-1≤0.

∴（x₁²-1）(x₂²-1)≥0此与（*）矛盾，故假设不成立.

(3)证明：f′(x)=（x²-1）,令f′(x)=0,得x=±1，

∴x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时,?f′(x)＞0；x∈(-1,1)时，f′(x)＜0，

∴f(x)在［-1，1］上是减函数，且f_max（x）=f(-1)=,f_min(x)=f(1)=-.

∴在［-１，１］上｜f(x)｜≤,于是x₁,?x₂∈［-1，1］时，|f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤+=.