题目内容
已知函数f(x)=cos(2x-
)+sin(2x-
)+2cos2x
（1）求f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（2）当x∈[-
，
]时，求函数f（x）的值域．
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（1）求f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（2）当x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式将f（x）=cos（2x-
）+sin（2x-
）+2cos2x化简为：f（x）=2sin（2x+
）+1，利用正弦函数的性质可求f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（2）由x∈[-
，
]，可求得2x+
的范围，利用弦函数的性质可求得函数的值域．
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）由x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）∵f（x）=cos（2x-
）+sin（2x-
）+2cos2x
=cos2xcos
+sin2xsin
+sin2xcos
-cos2xsin
+cos2x+1
=sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+
）+1，…4分
由2x+
=kπ+
（k∈Z）得：
x=
+
k∈Z…5分
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z）得：
kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z）…6分
∴f（x）的对称轴方程x=
+
k∈Z，
单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）…8分
（2）∵x∈[-
，
]，
∴2x+
∈[-
，
]，…9分
则2x+
=-
即x=-
时，f（x）min=1-
…10分
当2x+
=
即x=
时，f（x）max=3…11分，
故函数f（x）在x∈[-
，
]上的值域为：[1-
，3]…12分
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
=cos2xcos
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
=sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
由2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f（x）的对称轴方程x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
单调递增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）∵x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
则2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 3 |
当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
故函数f（x）在x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角变换与辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的对称轴与单调性，属于中档题．
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