Question

设函数f（x）=x²-2x+3，g（x）=x²-x，
（1）解不等式|f（x）-g（x）|≥2014；
（2）若|f（x）-a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得得|x-3|≥2 014，可得x-3≥2 014，或x-3≤-2 014，由此解得故不等式的解集．
（2）依题意知：当1≤x≤2时，|f（x）-a|＜2恒成立，即f（x）-2＜a＜f（x）+2恒成立．求得当1≤x≤2时，f（x）=（x-1）²+2的最值，可得实数a的取值范围

解答：解：（1）由|f（x）-g（x）|≥2 014 得|-x+3|≥2 014，即|x-3|≥2 014，
所以，x-3≥2 014或x-3≤-2 014，解得x≥2017，或x≤-2011，
故不等式的解集为{x|x≥2017，或x≤-2011 }．
（2）依题意知：当1≤x≤2时，|f（x）-a|＜2恒成立，所以当1≤x≤2时，-2＜f（x）-a＜2恒成立，
即f（x）-2＜a＜f（x）+2恒成立．
由于当1≤x≤2时，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2的最大值为3，最小值为2，因此3-2＜a＜2+2，即1＜a＜4，
所以，实数a的取值范围（1，4）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．