Question

若集A={（x，y）|x²+mx-y+2=0，x∈R}，B={（x，y）|x-y+1=0，0≤x≤2}当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由A∩B≠∅，将问题转化为方程组

y=x2+mx+2 y=x+1

在[0，2]上有解，即x²+（m-1）x+1=0在[0，2]上有解，构造函数f（x）=x²+（m-1）x+1，则函数在[0，2]上有零点，结合二次函数的图象和性质及零点存在定理，可得实数m的取值范围．

解答：解：问题等价于方程组

y=x2+mx+2 y=x+1

在[0，2]上有解，
即x²+（m-1）x+1=0在[0，2]上有解，
令f（x）=x²+（m-1）x+1，
则由f（0）=1知抛物线y=f（x）过点（0，1），
∴抛物线y=f（x）在[0，2]上与x轴有交点等价于f（2）=2²+2（m-1）+1≤0  ①
或

△=(m-1)2-4≥0 0＜ 1-m 2 ＜2 22+2(m-1)+1＞0

  ②
由①得m≤-

3

2

，由②得-

3

2

＜m≤-1，
∴实数m的取值范围为（-∞，-1]．

点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，方程的根与函数零点之间的关系，其中将集合有公共元素转化为方程组有解，再转化为函数有零点，进而借助函数的图象和性质进行解答是本题的关键．