Question

（2012•通州区一模）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

2

，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 

2

sin（2x+

π

4

），由此求得它的最小正周期．
（Ⅱ） 因为 x∈[-

π

2

，0]时，2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在区间[-

π

2

，0]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），…（3分）
所以 f（x） 的最小正周期为 π．      …（6分）
（Ⅱ） 因为 x∈[-

π

2

，0]时，2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，
所以当 2x+

π

4

=

π

4

，即 x=0 时，sin（2x+

π

4

）=

2

2

，所以f（x）取得最大值1．
当  2x+

π

4

=-

π

2

，即 x=-

3π

8

时，所以f（x）取得最小值-

2

． …（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．