题目内容
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）试用
| AD |
| AP |
| AB |
| BE |
（2）若BE⊥平面PCD，求异面直线PD与BC所成角的余弦值．
分析：（1）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=a，PA=b，求出各个点的坐标，由
=
+
，
可得BE∥平面PAD．
（2）由
•
=0，得到b=2a，求得
、
的坐标，由cos＜
，
＞=
求得
异面直线PD与BC所成角的余弦值．
| BE |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AP |
可得BE∥平面PAD．
（2）由
| BE |
| PC |
| PD |
| BC |
| PD |
| BC |
| 4a2 | ||||
2
|
异面直线PD与BC所成角的余弦值．
解答：
解：设AB=a，PA=b，建立如图所示空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），E(a，a，
)．
（1）证明：
=(0，a，
)，
=(0，2a，0)，
=(0，0，b)，
所以
=
+
，
BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD．
（2）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即
•
=0．
=(2a，2a，-b)，∴
•
=2a2-
=0，即b=2a．
=(0，2a，-2a)，
=(a，2a，0)，cos＜
，
＞=
=
，
所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为
．
解：设AB=a，PA=b，建立如图所示空间直角坐标系，A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），E(a，a，
| b |
| 2 |
（1）证明：
| BE |
| b |
| 2 |
| AD |
| AP |
所以
| BE |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AP |
BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD．
（2）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即
| BE |
| PC |
| PC |
| BE |
| PC |
| b2 |
| 2 |
| PD |
| BC |
| PD |
| BC |
| 4a2 | ||||
2
|
| ||
| 5 |
所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题考查利用向量证明线面平行，利用向量求异面直线成的角的余弦值，准确求出向量的坐标是解题的关键．
练习册系列答案
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