题目内容

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B₁、E、D₁的坐标；
（2）求AB₁与D₁E所成的角的余弦值．

解：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2
又∵E是DC的中点，
A（2，2，0），B₁（2，0，2），E（0，1，0），D₁（0，2，2）
（2）∵ $\text{[math]}$ =（0，-2，2）， $\text{[math]}$ =（0，1，2）
∴| $\text{[math]}$ |=2 $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0-2+4=2，
∴cos（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴AB₁与ED₁所成的角的余弦值为 $\text{[math]}$
分析：（1）由已知中正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E是DC的中点，易得到A、B₁、E、D₁的坐标；
（2）分别求出直线AB₁与D₁E方向向量的夹角，代入向量夹角公式，即可得到AB₁与D₁E所成的角的余弦值．
点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中建立坐标系，求出直线的方向向量，将异面直线夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．