Question

用向量法证明三角形的三条高线交于一点.

Answer 1

思路分析：可设两条高线交于一点,只要证明第三条高也过此点即可.

证明：如图,设△ABC的BC、CA两边上的高交于点P.再证PC⊥AB.

设=a,=b,=c,则=b-a,=c-b, =a-c.

∵⊥,⊥,

∴a·(c-b)=0,

即a·c=a·b;b·(a-c)=0,

即a·b=b·c.

从而a·c=b·c,

即c·(b-a)=0.

所以⊥,即PC⊥AB.

这就证明了点P在△ABC的第三边AB的高线上,所以△ABC的三条高线交于一点.

方法归纳 证明三线共点,常变换思维方式,以减少思维量.对于垂直这种特殊情况常先借助向量垂直的充要条件,再进一步进行向量运算来解决问题.