Question

（2013•静安区一模）已知α、β为锐角，且

1+sinα-cosα

sinα

•

1+sinβ-cosβ

sinβ

=2，则tanαtanβ=

1

．

Answer 1

分析：由已知条件利用三角函数的恒等变换化简可得 tan

α

2

+tan

β

2

=1-tan

α

2

tan

β

2

，求得tan

α+β

2

=1，可得 α+β=

π

2

，即α与β互为余角，由此可得tanαtanβ的值．

解答：解：已知α、β为锐角，且

1+sinα-cosα

sinα

•

1+sinβ-cosβ

sinβ

=2=

1+2sin α 2 cos α 2 -(1-2sin2 α 2 )

2sin α 2 cos α 2

•

1+2sin β 2 cos β 2 -(1-2sin2 β 2 )

2sin β 2 cos β 2

=（1+tan

α

2

）（1+tan

β

2

）=1+tan

α

2

+tan

β

2

+tan

α

2

tan

β

2

，
故有 tan

α

2

+tan

β

2

=1-tan

α

2

tan

β

2

，∴tan

α+β

2

=

tan α 2 +tan β 2

1-tan α 2 tan β 2

=1，
∴

α+β

2

=

π

4

，∴α+β=

π

2

，即α与β互为余角，
则tanαtanβ=1，
故答案为1．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，互余的两个角正切值间的关系，属于中档题．