Question

在空间中，若射线OA、OB、OC两两所成角都为

π

3

，且OA=2，OB=1，则直线AB与平面OBC所成角的余弦值为

1

3

．

Answer 1

分析：过A作AM⊥平面OBC，垂足为M，连接AM，BM，则根据题意可得OM在∠COB的角平分线上，∠ABM是直线AB与平面OBC所成角由三余弦定理可得，cos∠AOM•cos∠MOB=cos∠AOB可求cos∠AOM，在Rt△AOM中，可得AM=AOsin∠AOM，Rt△ABM中，sin∠ABM=

AM

AB

可求，进而可求余弦值

解答：解：过A作AM⊥平面OBC，垂足为M，连接AM，BM
则根据题意可得OM在∠COB的角平分线上，∠ABM是直线AB与平面OBC所成角
∴∠BOM=30°
由三余弦定理可得，cos∠AOM•cos∠MOB=cos∠AOB
∴cos∠AOM=

cos60°

cos30°

=

1

3

=

3

3

∵OA=2，Rt△AOM中，AM=AOsin∠AOM=

2 6

3

△AOB中，AO=2，OB=1，∠AOB=60°，由余弦定理可得AB²=1+4-2×1×2×cos60°=3
AB=

3

Rt△ABM中，sin∠ABM=

AM

AB

=

2 6 3

3

=

2 2

3

∴cos∠ABM=

1

3

故答案为：

1

3

点评：本题主要考查了直线与平面所成角的求解，解决本题的关键有两点：①当过A作AM⊥平面OBC，则由射线OA、OB、OC两两所成角都为

π

3

，可得OM在∠COB的角平分线上，②三余弦定理的应用是解决本题的另一个关键，只有知道该结论，才能求解出题目中的AM，进而可求所要求解的角．