Question

已知P是双曲线

x2

4

-

y2

12

=1上的动点，F₁、F₂分别是其左、右焦点，O为坐标原点，则

|PF1|+|PF2|

|PO|

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：设P（x，y） 则y²=3x²-12，e=2，由焦半径公式能够得出|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a，代入所求的式子并化简得到

4

4 - 12 x 2

，再由双曲线中x²≥4，求出范围即可．

解答：解答：解：设P（x，y） x＞0，由焦半径公式|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a，
则

|PF1|+|PF2|

|OP|

=

ex+a+ex-a

x2+y2

   （y²=3x²-12，e=2），
则原式=

2ex

4x2-12

=

4x

4x2-12

=

4

4 - 12 x 2

，又因为双曲线中x²≥4．
所以

4

4 - 12 x 2

∈（2，4]．
同理当x＜0时，|PF₁|=a-ex，|PF₂|=-ex-a，
仍可推出

|PF1|+|PF2|

|OP|

=

4

4 - 12 x 2

∈（2，4]．
即推出

|PF1|+|PF2|

|OP|

的取值范围为（2，4]．
故答案为：（2，4]．

点评：本题考查了双曲线的性质，由焦半径公式得到|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a是解题的关键，要注意分x＞0和x＜0两种情况作答，属于中档题．