题目内容

函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是减函数，且f（x）是奇函数，则对任意实数a，下列不等式成立的是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：首先判断出F（x）的是偶函数，然后根据函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是减函数，则知函数F（x）=xf（x）x∈R，在（0，+∞）上是增函数，再比较 $\text{[math]}$ 和a²-a+1的大小，根据函数的单调性即可得到答案．
解答：∵y=x是奇函数，f（x）是奇函数，
∴函数F（x）=xf（x）是偶函数，
∴F（- $\text{[math]}$ ）=F（ $\text{[math]}$ ），
∵函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是减函数，
∴函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（0，+∞）上是增函数，
∵a²-a+1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≤F（a²-a+1），
∵F（- $\text{[math]}$ ）=F（ $\text{[math]}$ ），
∴F（- $\text{[math]}$ ）≤F（a²-a+1），
故选A．
点评：本题主要考查奇函数和函数单调性的应用的知识，解答本题的关键是能判断出函数F（x）的奇偶性，本题难度一般．