题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：
为定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：
| |AQ|•|AR| |
| |OP|2 |
分析：（Ⅰ）依题意，可求得a=2，b2=3，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），|AR|=2
，A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组
，得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，利用韦达定理可得x1+x2=-
，x1x2=
，从而求得|AQ|=
；再设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），可求得，|x4|=
，从而得|OP|=
•
；继而可求得
的值．
（Ⅱ）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），|AR|=2
| 1+k2 |
|
| 16k2 |
| 4k2+3 |
| 16k2-12 |
| 4k2+3 |
12
| ||
| 4k2+3 |
|
| 1+k2 |
|
| |AQ|•|AR| |
| |OP|2 |
解答：解：（1）a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，yM）代入椭圆方程
+
=1，解得yM=±
，…（2分）
故
=3，可得b2=3． …（4分）
所以，椭圆方程为
+
=1． …（6分）
（2）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），
则|AR|=2
，…（8分）
设A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组
，
消去y得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，
x1+x2=-
，x1x2=
，
则|AQ|=
|x1-x2|=
=
． …（11分）
设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），联立方程组
，
消去y得（4k2+3）x2-12=0，|x4|=
，
所以|OP|=
|x4|=
•
． …（13分）
故
=
=2．
所以
等于定值2…（15分）
| c2 |
| a2 |
| ||
| b2 |
| b2 |
| a |
故
| 2b2 |
| a |
所以，椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），
则|AR|=2
| 1+k2 |
设A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组
|
消去y得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，
x1+x2=-
| 16k2 |
| 4k2+3 |
| 16k2-12 |
| 4k2+3 |
则|AQ|=
| 1+k2 |
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
12
| ||
| 4k2+3 |
设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），联立方程组
|
消去y得（4k2+3）x2-12=0，|x4|=
|
所以|OP|=
| 1+k2 |
| 1+k2 |
|
故
| |AQ|•|AR| |
| |OP|2 |
2
| ||||||
(
|
所以
| |AQ|•|AR| |
| |OP|2 |
点评：本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．
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