Question

已知函数y=log_a（x-1）（a＞0，a≠1）恒过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，若A，B是抛物线上的两点，且

AF•

BF

=0，直线AB的斜率不存在，则弦AB的长为

 

．

Answer 1

分析：函数y=log_a（x-1）（a＞0，a≠1）恒过点（2，0），可得抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，从而可得抛物线的标准方程，利用

AF•

BF

=0，直线AB的斜率不存在，知△ABF为等腰直角三角形，设出A的坐标代入抛物线方程，从而可求弦AB的长．

解答：解：函数y=log_a（x-1）（a＞0，a≠1）恒过点（2，0），所以抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（2，0），
所以抛物线的方程为y²=8x．
由

AF•

BF

=0，知AF⊥BF，而直线AB的斜率不存在，所以△ABF为等腰直角三角形．
设A（2+m，m），则代入抛物线方程可得m²=8（m+2），解得m=4

2

+4或m=4

2

-4，
所以弦AB的长为8

2

±8．
故答案为：8

2

±8．

点评：本题考查对数函数恒过定点，考查向量知识，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，确定抛物线方程是关键．