Question

设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a≠0，q：实数x满足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入不等式后求解不等式，同时求解不等式组，得到命题p和命题q中x的取值范围，由p且q为真，对求得的两个范围取交集即可；
（2）p是q的必要不充分条件，则集合B是集合A的子集，分类讨论后运用区间端点值之间的关系可求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由x²-4ax+3a²＜0，得：（x-3a）（x-a）＜0，
当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

，得：2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．
若p且q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3．               
（Ⅱ） p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，
设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B是A的真子集，
又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）．
所以当a＞0时，有

a≤2 3＜3a

，解得1＜a≤2，
当a＜0时，显然A∩B=∅，不合题意．
所以实数a的取值范围是1＜a≤2．

点评：本题是命题真假的判断与应用，考查了必要条件问题，考查了数学转化和分类讨论思想，是中档题．