Question

设数列{a_n}为等比数列，a1=C2m+33mAm-21，公比q是(x+

1

4x2

)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）确定m的值
（2）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（3）记 An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn
①证明，当x=1时，An=n×2n-1
②当x≠1时，用n，x表示A_n．

Answer 1

（1）由a₁=

C

3m2m+3

•

A

1m-2

得

2m+3≥3m m-2≥1

?

m≤3 m≥3

，
∴m=3，
（2）a₁=

C

99

•

A

11

=1．
又(x+

1

4x2

)4 展开式中第2项T₂=

C

14

•x³•（

1

4x2

）=x，即公比为x，
∴a_n=x^n-1，
∴S_n=

n，x=1 1-xn 1-x ，x≠1

；
（2）由S_n表达式引发讨论：
（Ⅰ）当x=1时，S_n=n，此时A_n=

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+n

C

nn

，①
又A_n=n

C

0n

+（n-1）

C

1n

+…+1•

C

n-1n

 ②
∴①+②得2A_n=n（

C

0n

+

C

1n

+…+

C

nn

）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1．
（Ⅱ）当x≠1时，S_n=

1-xn

1-x

，此时A_n=

1-x

1-x

C

1n

+

1-x2

1-x

C

2n

+…+

1-xn

1-x

C

nn

 
=

1

1-x

[（

C

1n

+

C

2n

+…+

C

nn

）-（x

C

1n

+x²

C

2n

+x³

C

3n

+…+xⁿ

C

nn

）]
=

1

1-x

{（2ⁿ-1）-[（1+x）ⁿ-1]}
=

1

1-x

[2ⁿ-（1+x）ⁿ]．