Question

已知函数f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

，x∈R．
（I）设角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的负半轴上，终边过点P（

1

2

，-

3

2

），求f（a）的值；
（II）试讨论函数f（x）的基本性质（直接写出结论）．

Answer 1

分析：解法一：（I）利用点P（

1

2

，-

3

2

）在α终边上，求出sinα，cosα，然后求出f（α）．
（II）化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后找出：奇偶性，单调性，最值，周期；
解法二：化简函数f（x）的表达式为一个角的一个三角函数的形式，
（I）点P（

1

2

，-

3

2

）在α终边上，求出α=2kπ-

π

3

， k∈Z解出f（α）即可．
（II）同解法一；

解答：解：解法一：（I）因为点P（

1

2

，-

3

2

）在α终边上，
所以sinα= -

3

2

，cosα=

1

2

f（α）=

3

cos2α+sinαcosα-

3

2

=

3

×(

1

2

)2+(-

3

2

)  ×

1

2

-

3

2

=-

3

2

（II）f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

×

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)
函数的基本性质如下：①函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
②函数f（x）单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，单调减区间为：[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）；
③函数的最大值我1，最小值为-1；
④函数的周期为：π
解法二：f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

×

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)
（I）因为点P（

1

2

，-

3

2

）在α终边上，
所以α=2kπ-

π

3

， k∈Z
所以f（α）=sin[2（2kπ-

π

3

）+

π

3

]=sin（4kπ-

π

3

）=sin（-

π

3

）=-

3

2

（II）同解法一；

点评：本题考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图象与性质等知识，考查运算求解能力，转化与化归思想等．