题目内容
已知函数f(x)=2sin2(
-x)-
cos2x，
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）若f（x）＜m+2在[0，
]上恒成立，求实数m的取值范围．
| π |
| 4 |
| 3 |
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）若f（x）＜m+2在[0，
| π |
| 6 |
分析：（1）对函数f（x）进行变形，使f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ω＞0）的形式，可求其最小正周期，再根据复合函数单调性的判断方法可求其减区间；
（2）要使f（x）＜m+2在[0，
]上恒成立，只要x∈[0，
]时f（x）max＜m+2即可．
（2）要使f（x）＜m+2在[0，
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）f(x)=2sin2(
-x)-
cos2x
=1-cos（
-2x）-
cos2x
=1-sin2x-
cos2x
=1-2sin（2x+
），
故最小正周期T=
=π，
由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，得-
+kπ≤x≤
+kπ（k∈Z），
所以函数f（x）的最小正周期为π，单调减区间为[-
+kπ，
+kπ]（k∈Z）．
（2）x∈[0，
]，则2x+
∈[
，
]，则sin（2x+
）∈[
，1]，
则f（x）∈[-1，1-
]，即f（x）在[0，
]上的值域为[-1，1-
]．
因为f（x）＜m+2在[0，
]上恒成立，所以m+2＞1-
，
解得m＞-1-
．
所以实数m的取值范围为（-1-
，+∞）．
| π |
| 4 |
| 3 |
=1-cos（
| π |
| 2 |
| 3 |
=1-sin2x-
| 3 |
=1-2sin（2x+
| π |
| 3 |
故最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
由-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
所以函数f（x）的最小正周期为π，单调减区间为[-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（2）x∈[0，
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
则f（x）∈[-1，1-
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
因为f（x）＜m+2在[0，
| π |
| 6 |
| 3 |
解得m＞-1-
| 3 |
所以实数m的取值范围为（-1-
| 3 |
点评：本题考查函数恒成立问题及三角函数的周期性、单调性，函数恒成立问题往往需要转化为函数最值问题进行处理．
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