Question

已知关于x函数f（x）=（1-a）x²+（a+2）x-4，a为实数，求：
（1）函数f（x）在[-2，1]只存在一个零点，求a的取值范围；
（2）函数f（x）的所有零点都大于0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数在[-2，1]只存在一个零点，可得f（-2）×f（1）≤0 （等号不同时取），即：-1（-6a-4）≤0，由此求得a的取值范围．
（2）①当1-a=0时，即a=1，则3x-4=0，解得x=

4

3

＞0符合题意． ②当1-a≠0时，即a≠1，则由

△=(a+2)2+16(1+a)≥0 x1+x2= a+2 a-1 ＞0 x1x2= 4 a-1 ＞0

，再求得a的取值范围．
最后将求得的两个a的取值范围取并集，即得所求．

解答：解：（1）∵函数在[-2，1]只存在一个零点，∴f（-2）×f（1）≤0．…（2分）
（等号不同时取），即：-1（-6a-4）≤0，解得：a≤-

2

3

，即a的取值范围为（-∞，-

2

3

]． …（5分）
（2）①当1-a=0时，即a=1，则3x-4=0，解得：x=

4

3

＞0（符合题意）．…（8分）
②当1-a≠0时，即a≠1，则满足：

△=(a+2)2+16(1+a)≥0 x1+x2= a+2 a-1 ＞0 x1x2= 4 a-1 ＞0

，…（11分）
推出

a≥10或a≤2 a＞1或a＜-2 a＞1

，可得1＜a≤2，或a≥10．…（13分）
综合以上情况，所求的a的取值范围为[1，2]∪[10，+∞）． …（14分）

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．