Question

已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量与向量f（s）≥ϕ（t）互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的离心率为，焦距为2，求出椭圆的方程为．联立，消去y得：5x²-6x-3=0，再由弦长公式能求求出|AB|．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，知x₁x₂+y₁y₂=0，由，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，再由根的判断式得到a²+b²＞1，利用韦达定理，得到a²+b²-2a²b²=0．由此能够推导出长轴长的最大值．
解答：解：（1）∵，2c=2，
∴a=，b=，
∴椭圆的方程为．…（2分）
联立，消去y得：5x²-6x-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，
∴|AB|=
=•
=．…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，∴，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
由，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1…（7分）
∵，，
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴，
整理得：a²+b²-2a²b²=0．…（9分）
∴b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得
2a²=1+，∴，…（10分）
∵，
∴，∴，
∴，∴，
∴适合条件a²+b²＞1．
由此得，∴，
故长轴长的最大值为．…（12分）
点评：本题考查椭圆方程和长轴长最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量垂直的条件、韦达定理、根的判别式、弦长公式、椭圆性质等知识点的灵活应用．