Question

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足S_n=4-a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

2-log2an

（n∈N^*），数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）利用s_n+1-s_n=a_n+1求出a_n的递推公式，进而判断该数列为等比数列，由此求解．
（2）将（1）中的结论代入b_n=

1

2-log2an

（n∈N^*），求出bn，进而求出b_nb_n+1，利用裂项求和法求出T_n，即可求证T_n的范围；

解答：解：（1）由S_n=4-a_n．得S₁=4-a₁，解得a₁=2，
而a_n+1=S_n+1-S_n=（4-a_n+1）-（4-a_n）=a_n-a_n+1，即2a_n+1=a_n，
∴

an+1

an

=

1

2

，
可见，数列{a_n}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列．
∴a_n=2•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2；           
 （2）证明：∵b_n=

1

2-log2an

=

1

2-(2-n)

=

1

n

，
∴b_nb_n+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴数列{b_nb_n+2}的前n项和
T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+…+（

1

n-2

-

1

n

）+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．

点评：本题主要考查数列知识的综合运用，以及证明不等式的能力，同时考查了裂项求和法，属于中档题．