Question

（2009•湖北模拟）已知数列{a_n}满足：a₁=5，且an+1=-2an+5×3n．
（1）求证：数列{a_n-3ⁿ}是等比数列，并写出a_n的表达式；
（2）设3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据递推公式利用“an-3n”表示“an+1-3n+1”，根据等比数列的定义证明数列{a_n-3ⁿ}是等比数列，求出此数列的通项公式再求出a_n；
（2）由（1）和条件求出b_n，代入|b₁|+|b₂|+…+|b_n|化简后，利用错位相减法求出式子的和，再求出和式的范围，再由恒成立求出m的范围．

解答：解：（1）∵an+1=-2an+5×3n，
∴an+1-3n+1=-2(an-3n)，
∴{a_n-3ⁿ}是以首项为a₁-3=2，公比为-2的等比数列，
∴a_n-3ⁿ=2•（-2）^n-1，
则a_n=3ⁿ+2•（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ，
（2）由3ⁿb_n=n•（3ⁿ-a_n）=n•[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n•（-2）ⁿ，
得b_n=n•（-

2

3

）ⁿ，
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…+n×(

2

3

)n①
∴

2

3

Sn=(

2

3

)2+2 • (

2

3

)3+…+(n-1)×(

2

3

)n+n×(

2

3

)n+1②
①-②得，

1

3

Sn=

2

3

+ (

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1=2[1-(

2

3

)n]-n • (

2

3

)n+1
∴Sn=6[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n+1＜6
∵|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，
∴m≥6．

点评：本题考查了递推公式的灵活应用，等比数列的证明方法，以及错位相减法求数列的和，数列与不等式结合问题．