Question

17．在下列叙述中：
①设直线l过原点，且倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转60°，那么直线l的倾斜角为α+60°；
②若直线l斜率k=-1，则它的倾斜角为135°；
③若A（1，-3）、B（1，3），则直线AB的倾斜角为90°；
④若直线过点（1，2），且它的倾斜角为45°，则这条直线必经过（3，4）点；
⑤若直线斜率为$\frac{3}{4}$，则这条直线必经过（1，1）与（5，4）两点．
所有正确命题序号为②③④．

Answer 1

分析 ①考虑0≤α＜120°和120°＜α＜180°两种情况，
②由直线的斜率和倾斜角公式k=tanα可求得，
③由A，B可知直线AB为垂直x轴的直线可判断倾斜角，
④直线的斜率与倾斜角以及点的关系的关系判断④的正误；
⑤直线的斜率与倾斜角以及点的关系的关系判断⑤的正误；

解答 解：对于①，当0≤α＜120°时，将l绕坐标原点按逆时针方向旋转60°，那么直线l的倾斜角为α+60°，当120°＜α＜180°时，将l绕坐标原点按逆时针方向旋转60°，那么直线l的倾斜角为α-120°，故①不正确．
对于②∵k=tanα=-1，0°≤α＜180°，∴α=135°，故②正确；
对于③∵A（1，-3），B（1，3），∴直线AB与x轴垂，故直线AB的倾斜角为90°，故③正确；
对于④，直线过点（1，2），且它的倾斜角为45°的直线方程为y-2=x-1，即y=x+1，当x=3时，y=4，故④正确；
对于⑤斜率为$\frac{3}{4}$的直线有无数条，尽管过（1，1）与（5，4）两点的斜率k=$\frac{4-1}{5-4}$=$\frac{3}{4}$，但是不一定这条直线必过（1，1）与（5，4）两点，故⑤不正确．
故答案为：②③④

点评 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系以及直线方程的问题，以及倾斜角的取值范围，注意倾斜角等于90°时的情况．