Question

在（3x-2y）²⁰的展开式中，
求：（1）二项式系数最大的项；
（2）系数绝对值最大的项；
（3）系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）利用展开式中中间项的二项式系数最大，判断出第11项的二项式系数最大；利用二项展开式的通项公式求出第11项．
（2）根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项．
（3）据系数正负交替出现，故求系数最大的项，只需研究奇数项的系数即可；据最大的系数大于等于其前一个系数同时大于等于其后一个系数；列出不等式求出系数最大的项．

解答：解：（1）二项式系数最大的项是第11项，
T₁₁=C₂₀¹⁰3¹⁰（-2）¹⁰x¹⁰y¹⁰=C₂₀¹⁰6¹⁰x¹⁰y¹⁰．
（2）设系数绝对值最大的项是第k+1项，于是

C k 20 •320-k•2k≥ C k+1 20 •319-k•2k+1 C k 20 •320-k•2k≥ C k-1 20 •321-k•2k-1

，
化简得

3(k+1)≥2(20-k) 2(21-k)≥3k

，
解得7

2

5

≤k≤8

2

5

．
所以k=8，即T₉=C₂₀⁸3¹²•2⁸•x¹²y⁸是系数绝对值最大的项．
（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k-1项系数最大，于是

C 2k-2 20 •322-2k•22k-2≥ C 2k-4 20 •324-2k•2k-4 C 2k-2 20 •322-2k•22k-2≥ C 2k 20 •320-2k•22k

，
化简得

10k2+143k-1007≤0 10k2+163k-924≥0

．
又k为不超过11的正整数，可得k=5，即第2×5-1=9项系数最大，T₉=C₂₀⁸•3¹²•2⁸•x¹²•y⁸．

点评：本题考查二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大、考查二项展开式的通项公式、考查求系数最大项的方法．