Question

 (本小题满分12分)

已知四棱锥的底面为直角梯形,∥,∠,⊥底面,且,是的中点.

(1)证明:平面⊥平面;

(2)求与所成角的余弦值;

(3)求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

 (1)见解析；(2) 与所成角的余弦值为.

(3)二面角的余弦值为 。

【解析】第一问主要考查空间几何体中线，面位置关系的证明！掌握好线面位置关系的判定定理与性质定理注意线线，线面，面面之间的转化有利于证明题的解决。第二三问主要是线线角与二面角的求法。掌握利用向量求空间角的方法。

解：(1)∵⊥底面，

∴⊥

又∠

∴⊥

而平面，平面，

且

∴⊥平面，…………2分

又∥

∴⊥平面，…………3分

又平面，

∴平面⊥平面.              …………………………4分

(2)由(1)知可以为原点,建立如图空间直角坐标系,

∵,是的中点,

∴, ………………5分

∴ …………………………6分

∴,

∴与所成角的余弦值为.    …………………………8分

(3)∵

记平面的法向量为

则即,令则,

∴ …………………………9分

同理可得平面的法向量为 …………………………10分

∴ …………………………11分

又易知二面角的平面角为钝角,

∴二面角的余弦值为        …………………………12分