Question

解答题 已知梯形ABCD中，AD∥BC，，AB＝BC＝2AD＝4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE＝x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)． (1) 当x＝2时，求证：BD⊥EG； (2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值； (3) 当f(x)取得最大值时，求二面角D－BF－C的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵平面平面，AE⊥EF，∴AE⊥面平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，故可建立空间坐标系E－xyz．则A(0，0，2)，B(2，0，0)，G(2，2，0)， D(0，2，2)，E(0，0，0) (－2，2，2)(2，2，0) (－2，2，2)(2，2，0)＝0，∴……4分；
(2)	解：∵AD∥面BFC，VA－BFC＝＝·4·(4－x)·x 即时有最大值为．……8分
(3)	解：设平面DBF的法向量为，∵AE＝2，B(2，0，0)，D(0，2，2)， F(0，3，0)，∴(－2，2，2)， 则，即， 取x＝3，则y＝2，z＝1，∴……11分 面BCF的一个法向量为 则cos<>＝……13分 二面角D－BF－C的平面角为π－arccos……14分