Question

（2004•黄埔区一模）已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，对于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-

3

2

Sn-1总成等差数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求通项a_n；
（Ⅲ）计算

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得2a_n=3S_n-

3

2

sn-1-2，再由a₁=1，令n=2可以求得a₂=

1

2

，同理，分别令n=3 和4，可求得
a₃，a₄的值．
（Ⅱ）由题意可得，3S_n=a_n+4，故有3S_n+1=a_n+1+4，相减可得3a_n+1=a_n+1-a_n，即

an+1

an

=-

1

2

，即a₂，a₃，…a_n，…成等比数列，由此求得通项a_n ．
（Ⅲ）由题意可得，

lim

n→∞

Sn=1+

lim

n→∞

(a2+a3+…+an)=1+

a2

1-q

，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）∵当n≥2时，3S_n-4，a_n，2-

3

2

sn-1总成等差数列，∴2a_n=3S_n-

3

2

sn-1-2．
再由a₁=1，令n=2可得 2a₂ =3s₂-

3

2

a1-2，即 2a_n=3（1+a₂ ）-

3

2

-2，解得 a₂=

1

2

．
令n=3 可得2a₃=3S₃-

3

2

S2-2，即 2a₃=3（1+

1

2

+a₃）-

3

2

(1+

1

2

)-2，解得  a₃=-

1

4

．
同理，令n=4，可求得 a₄=

1

8

?．
（Ⅱ）∵当n≥2时，3S_n-4，a_n，2-

3

2

sn-1总成等差数列，即 2a_n=3S_n-4+2-

3

2

sn-1，?
即 2a_n+2=3s_n-

3

2

sn-1，∴2a_n+1+2=3s_n+1-

3

2

s_n．
两式相减，得2a_n+1 -2a_n=3a_n+1-

3

2

a_n，即

an+1

an

=-

1

2

，
∴a₂，a₃，…a_n，…成等比数列，故a_n=

1   ， n=1 (-1)n( 1 2 )n-1，n≥2

．
（Ⅲ）由于数列{a_n}当n≥2时构成等比数列，公比q=-

1

2

，
故 

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

a1+ 

lim

n→∞

(a2+a3+…+an)=1+

a2

1-q

=1+

1 2

1-( - 1 2 )

=

4

3

．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，无穷递缩等比数列前n项和的极限，属于中档题．