Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.

（1）       若，是否存在，有说明理由；

（2）       找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；

（3）       若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明.

Answer 1

（1）由，                        ……2分

           整理后，可得，，为整数，

          不存在，使等式成立.                           ……5分

       （2）解法一  若即，        （*）

          （i）若，

            当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求.……7分

          （ii）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右边只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，，矛盾.

           综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求.                                                 ……10分

        解法二  设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即，

     ，对都成立，……7分

          （i）若，.

          （ii）若，则

           综上所述，，使对一切，.  ……10分

           （3），

            设

           ，

          ，，            ……13分

      取，……15分

      由二项展开式可得整数，使得，

       

       存在整数满足要求.

      故当且仅当，命题成立.                               ……18分

       说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

    若为偶数，则为偶数，但为奇数.

    故此等式不成立，一定为奇数.                         ……1分

当，

而

            当为偶数时，存在，使成立，                  ……1分

当 ，

也即，，

由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，……2分

当，

也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，

故不是所有奇数都成立.                                        ……2分

解析:

⑴知道了数列通项，可以把表达出来，因为，看是否满足条件；

⑵写出两个数列的通项，根据公差的取值进行讨论；

⑶由题意可知，数列的通项可以确定，设连续的项的的首项，可以求出这项的和，让其等于数列的第k项，建立方程，因为，从这里入手进行计算.