Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=20，前n项和记为S_n，满足S₁₀=S₁₅，求n取何值时，S_n取得最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：设等差数列的公差为d，由首项a₁的值和S₁₀=S₁₅即可求出公差d的值即可写出等差数列{a_n}的通项公式；可知a₁₃=0，然后由等差数列的特点可知当n≤12时，a_n＞0，n≥14，a_n＜0即可得结论．

解答：解：∵a₁=20，S₁₀=S₁₅，∴10×20+

10×9

2

d=15×20+

15×14

2

d
解得d=-

5

3

…（3分）数列为递减的数列
∴通项公式an=-

5

3

n+

65

3

∴a₁₃=0…（6分）
即当n≤12时，a_n＞0，n≥14，a_n＜0
∴当n=12或n=13时，S_n取得最大值，最大值是S₁₂=S₁₃=130…（12分）

点评：此题考查了等差数列的通项公式，由等差数列递减的性质得出：当n≤12时，a_n＞0，n≥14，a_n＜0是解决问题的关键，属中档题．