Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=lnx+1，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、2

  e

  -1
• D、e²-1

Answer 1

分析：由f（a）=g（b），求出a的表达式，从而得出b-a的表达式；利用导数求出b-a的最小值．

解答：解：根据题意，f（a）=g（b），
即e^a=lnb+1=ln（be），
∴a=ln（ln（be））；
∴b-a=b-ln（ln（be））
=lne^b-ln（ln（be））
=ln

eb

ln(be)

=ln

eb

lnb+1

；
∴设h（x）=

eb

lnb+1

，
则h′（x）=

eb(lnb+1- 1 b )

(lnb+1)2

；
令h′（x）=0，得lnb+1-

1

b

=0，
当b=1时，h′（x）=0；
此时a=ln（ln（1•e））=0，
∴b-a的最小值是1-0=1．
故选：A．

点评：本题考查了求函数最值的问题，解题的关键是建立目标函数，利用导数求目标函数的最值，是较难的题目．