Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=a＞0．
（1）求f（

1

2

）及f（

1

4

）；
（2）证明f（x）是周期函数．

Answer 1

分析：（1）已知任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），令x₁=x₂=

1

2

，求出f（

1

2

），根据

1

2

=

1

4

+

1

4

进行求解；
（2）已知f（x）为偶函数，再根据f（x）关于x=1对称，进行证明；

解答：解；（1）∵f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）•f（

1

2

）=f²（

1

2

）=a，
∴f（

1

2

）=±

a

又∵f（

1

2

）=f（

1

4

+

1

4

）=f²（

1

4

）＞0，
∴f（

1

2

）=a

1

2

同理可得f（

1

4

）=a

1

4

（2）∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）
又∵f（x）关于x=1对称，
∴f（x）=f（2-x）
∴f（x）=f（-x）=f[2-（-x）]=f（2+x）  （x∈R）
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．

点评：此题主要考查函数的周期性，此类抽象函数的题，主要利用特殊值法，此题比较简单．