Question

已知函数f(x)=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）。
(1)当a=1时，求函数f(x)的最值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)试说明是否存在实数a（a≥1）使y= f(x)的图象与y=+ln2无公共点。

Answer 1

解：（1）函数f(x)=x²-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1，+∞)，
当a=1时，，
所以，f (x)在为减函数，在为增函数，
所以，函数f (x)的最小值为。
（2），
若a≤0时，则在(1，+∞)恒成立，所以f(x)的增区间为(1，+∞)；
若a＞0，则故当时，，
当时，，
所以a＞0时，f(x)的减区间为，f(x)的增区间为。
（3）a≥1时，由（1）知f(x)在(1，+∞)的最小值为，
令在 [1，+∞)上单调递减，
所以，，
则，
因此，存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于，
故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与y=无公共点。