Question

19．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{6}）-2{sin^2}（x-\frac{π}{12}）$．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期及增区间；
（Ⅱ）若 $-\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（X）=2sin2x-1，利用周期公式即可求得函数的周期，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，即可解得增区间．
（Ⅱ）由$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$，可得$-\frac{π}{6}≤2x≤\frac{2π}{3}$，由于三角函数的性质即可求得函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{6}）-2{sin^2}（x-\frac{π}{12}）$
=$\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{6}）+cos（2x-\frac{π}{6}）-1$
=2$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}cos（2x-\frac{π}{6}）]-1$
=2sin2x-1…（4分）
∴T=π…（5分）
∵$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．∴解得：$-\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{π}{4}+kπ$，k∈Z．
∴增区间为 $[-\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{4}+kπ]$ZZ．…（8分）
（Ⅱ）∵$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$，
∴$-\frac{π}{6}≤2x≤\frac{2π}{3}$，
∴-2≤y≤1，
∴值域为 {y|-2≤y≤1}．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基本知识的考查．