Question

已知f（x）=x²-ax+4．
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞x+14；
（2）若f（x）≤0对x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先把不等式整理成标准形式，再进行因式分解，从而可得不等式的解集．
（2）由x²-ax+4≤0对一切x∈[1，4]恒成立可得，a≥x+

4

x

在x∈[1，4]上恒成立从而转化为a≥（x+

4

x

）_max结合函数性质得到y=x+

4

x

在x∈[1，4]的最大值为5，即可求a的取值范围．．

解答：解：（1）当a=2时，不等式f（x）＞x+14等价于x²-2x+4＞x+14
即是x²-3x-10＞0，解得x＜-2或x＞5
故不等式的解集是{x|x＜-2或x＞5}；
（2）解：∵x²-ax+4≤0对一切x∈[1，4]恒成立，
∴a≥x+

4

x

在x∈[1，4]上恒成立
构造函数y=x+

4

x

，x∈[1，4]
∴a≥y_max
∵函数y=x+

4

x

在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增
故y在x=1或4时，取得最大值5，
故a的取值范围是：a≥5

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法以及函数恒成立问题，此类问题，①问关键是把次项系数化为正数，再进行因式分解，同时注意三个二次之间的关系．②问常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），体现了转化思想在解题中的应用．