Question

已知函数f（x）=cos+sin（x∈R），给出以下命题：①函数f（x）的最大值是2；②周期是；③函数f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是； ④对任意x∈R，均有f（5π-x）=f（x）成立；⑤点（）是函数f（x）图象的一个对称中心．其中正确命题的序号是________．

Answer 1

③⑤
分析：利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）=sin（），由此确定函数的对称性、周期性、最值，从而得到答案．
解答：∵函数f（x）=cos+sin=sin（） （x∈R），故其最大值等于，周期等于 =5π，两条相邻的对称轴之间的距离是，
故①②不正确，③正确．
令=kπ+，k∈z，可得 x=+，k∈z，故函数f（x）的对称轴为 x=+，k∈z，故函数不关于x=对称，故④不正确．
当x=时，函数f（x）=sin（+）=sinπ=0，故点（）是函数f（x）图象的一个对称中心，故⑤正确．
综上，只有③⑤正确，
故答案为：③⑤．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+∅）的对称性、周期性、最值，利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）=sin（），
是解题的突破口，属于中档题．