Question

若|

b

|=2|

a

|≠0，

c

=

a

+

b

，且

c

⊥

a

，则向量

a

与

b

的夹角为

2π

3

．

Answer 1

分析：设向量

a

与

b

的夹角为θ，|

a

|=1，则|

b

|=2|

a

|=2，则由

c

⊥

a

可得

c

•

a

=0，由此求得cosθ 的值，从而可得θ的值．

解答：解：设向量

a

与

b

的夹角为θ，|

a

|=1，则|

b

|=2|

a

|=2，则由

c

⊥

a

 可得

c

•

a

=0，即 (

a

+ 

b

)•

a

=0．
化简可得

a

2+

a

•

b

=1+1×2×cosθ=0，
∴cosθ=-

1

2

．
再由 0≤θ≤π 可得 θ=

2π

3

，
故答案为

2π

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．