Question

已知f(x)=alnx+

1

2

x2(a＞0)，若对任意两个不等的正实数m，n都有

f(m)-f(n)

m-n

＞3恒成立，则实数a的取值范围是

a≥

9

4

．

Answer 1

分析：由题意易得f′（x）＞3恒成立，求导数，分离a，只需求x（3-x）的最小值即可．

解答：解：因为对任意两个不等的正实数m，n都有

f(m)-f(n)

m-n

＞3恒成立，
所以函数f（x）图象上每点切线的斜率＞3恒成立，
故f′（x）＞3恒成立，
又已知f(x)=alnx+

1

2

x2(a＞0)，定义域为（0，+∞）
求导数可得f′(x)=

a

x

+x，故

a

x

+x＞3恒成立，
所以a＞x（3-x）恒成立，只需求x（3-x）的最小值，
而当x=

3

2

时，[x（3-x）]_min=

9

4

，
故答案为：a≥

9

4

点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及恒成立问题，属中档题．