Question

直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，两直角边分别与平面α成 30°和45°角，则这个直角三角形所在平面与平面α所成锐二面角的大小是

60⁰

．

Answer 1

分析：过点C作CD⊥平面α，设CD=h，用h表示三角形ABC的边AB、AC、BC、ABC的斜边AB上的高为x，求出角三角形ABC与平面α成的角为β的正弦值，从而求出直角三角形所在平面与平面α所成锐二面角的大小β．

解答：解：过点C作CD⊥平面α，设CD=h，
∵AC，BC与平面α分别成30°，45°的角，
∴BC=

2

h，AC=2h，AB=

6

h，
∵直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，
S_△=

1

2

BC•AC=10，∴h=

5 2

，
设直角三角形ABC的斜边AB上的高为x，
由面积法可求 x=

2

3

15 2

，
设直角三角形ABC与平面α成的角为β，
sinβ=

h

x

=

3

2

，∴β=60⁰，
故答案为60⁰．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题、直线与平面所成的角，三角形ABC与平面α成的角余弦值等于射影面积比上直角三角形ABC的面积．