Question

抛物线y²=2px（p＞0）的一条弦AB过焦点F，且|AF|=1，|BF|=2，则抛物线方程为

 

．

Answer 1

分析：首先由抛物线y²=2px（p＞0）的一条弦AB过焦点F，且|AF|=1，|BF|=2，可把点A，B的坐标设出来，然后应用圆锥曲线的焦半径公式把|AF|+|BF和|AF|•|BF|用x₁，x₂表示出来，然后解出p的值即可得到抛物线方程．

解答：解：由抛物线y²=2px的一条弦AB过焦点F，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AF|=x1+

p

2

，|BF|=x2+

p

2

，则|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=3，
∴x₁+x₂=3-p，而x1•x2=

p2

4

．
由|AF|•|BF|=x1•x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

=2．
得

p2

2

+

p

2

•(3-p)=2，即

3p

2

=2，
∴p=

4

3

，抛物线方程为y2=

8

3

x．
故答案为y2=

8

3

x．

点评：此题主要考查抛物线标准方程的求法，其中涉及到圆锥曲线的焦半径公式的应用，在高考中属于重点的考点，且有一定的难度希望同学们注意．