Question

已知函数f(x)=x+

a

x

-a，
（1）若方程f（x）=0有正根，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=|xf（x）|，且g（x）在区间[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据方程f（x）=0有正根，转化为方程x²-ax+a=0有正根，对方程进行有异号根，和两正根或一零根一正根进行讨论，即可求得实数a的取值范围；
（2）求出并配方得g(x)=|(x-

a

2

)2+a-

a2

4

|，根据g（x）的图象特征，分a-

a2

4

≥0和a-

a2

4

＜0时进行讨论，即可求得结果．

解答：解：（1）方程x+

a

x

-a=0有正根?方程x²-ax+a=0有正根．△=a²-4a
①当△=0，即a=0或a=4时，经检验a=4符合题意．
②当△＞0，即a＞4或a＜0时，设方程x²-ax+a=0的两个根为x₁、x₂，
∵a＞4时，使得

x1+x2＞0 x1x2＞0

成立，所以a＞4符合题意∵a＜0时，使得x₁x₂＜0成立，所以a＜0符合题意．
综上，a≥4或a＜0
（2）g(x)=|(x-

a

2

)2+a-

a2

4

|
①当a-

a2

4

≥0即0≤a≤4时，g（x）在区间(-∞，

a

2

]上是减函数，又已知g（x）在区间[0，1]上是减函数，
∴

a

2

≥1即a≥2，
∴2≤a≤4
②当a-

a2

4

＜0即a＞4或a＜0时，设方程g（x）=0的两根为x₁，x₂且x₁＜x₂，此时g（x）
在区间（-∞，x₁]或区间[

a

2

，x2]上是减函数，若[0，1]?（-∞，x₁]，则x1≥1?

a 2 ＞1 1•f(1)＞0

得a＞2
∴a＞4
若[0，1]?[

a

2

，x2]，则

a 2 ≤0 x2≥1

?

a 2 ≤0 1•f(1)≤0

此时a不存在
综上，a≥2

点评：本题考查一元二次方程的根的情况以及y=|f（x）|函数的图象特点，体现了分类讨论的数学思想方法，考查运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，属难题．