Question

给出定义：若，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上有函数f（x）=|x-{x}|（x∈R）．对于函数f（x）给出如下判断．
①函数y=f（x）是偶函数；②函数f（x）是周期函数；③函数y=f（x）在区间上单调递增；
④函数y=f（x）的图象关于直线对称；⑤函数y=f（x）的图象关于直线x=k（k∈Z）对称．
以上判断中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】分析：①通过判断f（-x）是否等于f（x），来判断函数的奇偶性．②利用周期性的定义，若函数满足f（x+T）=f（x），则函数为周期是T的周期函数．③可举出不成立的情况，说明函数y=f（x）在区间上不是单调递增．④⑤利用若函数满足f（a-x）=f（x），则函数对称轴为x=，来判断函数的对称性．
解答：解：∵，∴
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x-（-m）|=|x-m|，f（x）=|x-{x}|=|x-m|
∴f（-x）=f（x）∴①正确
∵，∴
{x+1}=m+1
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-（m+1）|=|x-m|=f（x）
∴函数f（x）是周期函数，∴②正确．
∵∈，∈，且{}=0，{}=0
不满足区间上单调递增，∴③错误
∵，∴
∴{2k+1-x}=2k+1-m
∴f（2k+1-x）=|2k+1-x-{2k+1-x}|=|2k+1-x-（2k+1-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函数y=f（x）的图象关于直线对称
∴④正确
∵，∴
∴{2k-x}=2k-m
∴f（2k-x）=|2k-x-{2k-x}|=|2k-x-（2k-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=k（k∈Z）对称，⑤正确
故答案为①②④⑤
点评：本题主要考查了函数奇偶性，周期性，单调性，对称性的判断，属于性质的综合．