Question

函数f（x）=mx²-2x+1的零点只有一个是正实数，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

当m=0时，
f（x）=mx²-2x+1=-2x+1=0，x=

1

2

，满足题意．
当m≠0时，
不论抛物线开口向是上还是向下，当有两个解时，两个解x₁•x₂＜0，
当有一个解时，x＞0．
f（x）=mx²-2x+1=0，
∴x²-

2x

m

+

1

m

=0，
令t=

1

m

（t≠0），则（x-t）²+t-t²=0，
∴x₁=t+

t2-t

，x₂=t-

t2-t

．
如果只有一个解，t²-t=0，即t=1，x=t=1＞0满足题意，此时m=1．
如果有两个解，t²-t＞0，t（t-2）＞0，t≥2或t＜0．
x₁•x₂=t²-t²+t=t＜0，
∴t＜0，即m＜0．
综上所述，m的取值范围m≤0，或m=1．
故答案为：（-∞，0]U{1}．